Тема уроку: Функції, їх графіки і властивості

Мета уроку: систематизувати і узагальнити знання про властивості функцій, закріпити навички в побудові і читанні графіків функцій, розвивати логічне мислення,  здатність аналізувати, досліджувати, культуру математичної мови, пізнавальний інтерес до предмета, виховувати самостійність,наполегливість, зосередженість, уважність, працьовитість.

Обладнання: проектор, презентація уроку, картки

Епіграф уроку:

 Математика, якщо на неї правильно подивитися,      

                               відображає не тільки істину, але і непідробну красу.      

                                                                                          Г. Галілей

Девіз :

Не будемо сперечатись,обчислимо істину.

                                                                                           Г.Лейбніц

Хід уроку

 І. Організаційна частина

Вступне слово вчителя

При всій багатогранності дійсності та уявного світу, загальним в ньому є те, що одні явища відбуваються під дією інших. Всі знають крилатий вислів « Все тече, все змінюється». Повертається навколо своєї осі Земна куля, і день змінює ніч, Земля здійснює  свій вічний рух навколо Сонця, Сонце разом зі всіма своїми планетами вічно прямує у космічні далі. Здається, до чого тут математика ? Але як образно помітив Галілей, Книга природи написана на математичній мові і її букви  - математичні знаки і геометричні фігури, без них неможливо зрозуміти її слова, без неї пусте блукання у нескінченному лабіринті. А саме функція є тим засобом математичної мови, який дозволяє описувати процеси руху, зміни і неповторної краси, що належать природі.Як сказав Г.Галілей, математика, якщо на неї правильно подивитися, відображає не тільки істину, але і непідробну красу. Можливо, хтось і не погодиться, проте ,не будемо сперечатись, обчислимо істину.  Ці слова відомого німецького математика Лейбніца візьмемо девізом уроку. Сьогодні ми шукатимо істину, розв’язуючи завдання на застосування властивостей вивчених функцій  (Тема уроку )

ІІ. Повторення основних понять теми

1. Давайте пригадаємо найголовніші поняття з теми «Функція»
2. Теоретичний  бліц-турнір
   1. Якими способами можна задати функцію?
   2. Що називають функцією?
   3. Що називають областю визначення функції?
   4. Що називають нулями функції?
   5. Яка функція називається зростаючою?
   6. Яка функція називається  непарною?
   7. Які функції ви знаєте?

 III. Перевірка домашнього завдання

1. Дізнатися про історію виникнення функції нам допоможе історична довідка.

2. Виступ «Гіпербола навколо нас»

Обов’язково для всіх домашнім завданням було записати за графіками функцій їх формули. Звіримо відповіді.

На практиці потрібно постійно розв’язувати різноманітні задачі ( такі задачі назив. прикладними задачами), досліджувати ті чи інші явища, аналізувати результати експериментів і дослідів. Загальні методи розв’язання багатьох видів прикладних задач вивчаються у диференціальному численні. Але більшість з них  можна розв’язати елементарними способами, використовуючи властивості деяких функцій та геометричних фігур, тотожні перетворення виразів.

Розв’язання такої задачі

Задача. Ділянку прямокутної форми, що прилягає до стіни будинку, треба обгородити парканом завдовжки 20 м так, щоб площа ділянки була найбільшою. Які розміри повинна мати ділянка ?

Розв’язання : вибір найбільшої ділянки прямокутної форми означає вибір прямокутника найбільшої площі.  АВ + ВС +СД = у+х +у = х + 2у;    де х – довжина, у – ширина.  х + 2у = 20 (згідно з умовою задачі ). Виразимо х через у

  х = 20 – 2у .

Площа прямокутної ділянки :

S = xy   Задамо площу ділянки як функцію від у. Підставимо отримані значення у формулу площі :

S (y ) = у( 20 – 2у) = -2у+ 20у = -2 (у- 10у )= -2( у - 2 ·5у + 25 – 25 ) = = -2(( у – 5 ) - 25 ) = - 2 (у – 5 ) + 50

Дослідимо отриману функцію на найбільше значення. Це можна зробити двома способами: аналітичним і графічним. Використаємо аналітичний спосіб.

Функція S (y) набуває найбільшого значення 50, якщо одночлен   -2 (у – 5 ) дорівнює нулю, тобто  при у = 5. Тобто, Sнайб. = = 50м при у = 5 м. Оскільки у = 5, то х + 2 ·5 = 20, х = 10 (м).

Відповідь: 10 м × 5 м.

ІІІ. Повторення основних закономірностей, правил теми.

У результаті дослідження задачі, з’ясувалося, яку найбільшу ділянку прямокутної форми можна обгородити, маючи довжину огорожі, а також, яку довжину і ширину повинна мати ділянка, щоб її площа була найбільшою. Застосування математичного моделювання в задачах такого типу можна використати в сільському господарстві. На практиці це дає змогу не лише економити кошти, сили та час, не знижуючи при цьому якість, а й дає поштовх розвитку промисловості і сільського господарства, прискорює розроблення нових ідей.

Ми часто сумніваємося, приймаючи важливі рішення, що сказати - так чи ні. Ці короткі слова , як сказав Піфагор, вимагають серйозних роздумів. Отож подумаємо зараз і дамо відповідь – так чи ні.

Графічний диктант

( Якщо правильне твердження– так, якщо неправильне – ні.)

1. Функція виду  y = kx + b назив квадратичною ( ні )
2. Область визначення функції – це множина тих значень, яких може набувати аргумент. ( так )
3. Функцію можна задати лише аналітичним і графічним способом. ( ні )
4. Функцією називають залежність змінної у від х, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у. (так )
5. Функція назив. парною, якщо f (-x )=  f (x)  (так )
6. Функція y = √х   є спадною.
7. Функція буде зростаючою на проміжку,якщо більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції. (так )
8. Нулями функції назив.значення аргумента, при яких функція дорівнює нулю. ( так )
9. Графіком функції y = xє гіпербола. ( ні )
10. Графіком лінійної функції є пряма. ( так )
11. Функція  y = xпроходить через початок координат. (так )
12. Область визначення функції y= є множина дійсних чисел. (ні)

Обміняйтесь зошитами і перевіримо відповіді. Правильна відповідь 1 бал. Розвязуючи домашню задачу, ми досліджували отриману функцію      S ( y ) на екстремальне значення – найбільше. Давайте зараз  повторимо загальну схему дослідження  функції

1. Область визначення функції
2. Область значень функції
3. Дослідження функції на парність
4. Дослідження функції на монотонність
5. Визначення проміжків знакосталості
6. Нулі функції
7. Побудова графіка

Зауваження до схеми дослідження функції

Не завжди чітко дотримуватись вказаного плану. Напр., інколи неможливо знайти точки перетину з віссю ОХ, тобто нулі функції, навіть якщо вони і існують. Інколи додатково знаходять координати деяких точок.

ІV.  Виконання практичних завдань на повторення і закріплення

1. Користуючись схемою дослідження функції, встановимо, що являє собою Неопізнаний математичний  об’єкт  (запис властивостей функції за графіком)
2.  ( Один учень виконує на дошці, інші в зошитах )

1 . D(y) = (  -∞; 4 )

2 . Е (у ) = [ -2; +∞ )

3 . f (0 )= -1,   f (-1) = 2,     f (1 ) = 2

4 . у = 0, якщо х = 2

5 . якщо у = 5, то х = 3

6 . у >0, якщо х  є ( 2; 4 )

Часто буває в житті так, що результат нашої праці залежить не тільки від нас самих, але і від тих людей, які нас оточують, які поряд з нами. Робота в групах (по рядах)

Наступне завдання полягає в тому, що учні повинні вміти описувати функцію, графік функції, пояснювати етап побудови. Представник з кожної групи покаже нам, як він оволодів навичками дослідника. Якщо учень не повністю опише графік функції, представники його групи мають право доповнити.

1. Схематично зобразити графіки функцій і записати їх властивості

І група  - у = |х| + 2

ІІ група – у = |х| - 1

Графіки функцій учні будують на великих аркушах. На виконання  3 хв. По закінченні роботи групи презентують графіки функцій, які вони побудували, зі стислим описом властивостей.

2 . «Шифрувальники»

Кожна група  отримує графік функції. Необхідно його «зашифрувати»  за допомогою описування властивостей даної функції. Групи обмінюються «шифровками» і кожна з груп за описаними властивостями функції будує її графік. Після цього побудований графік звіряється зі зразком.

( за шифрування – 1 бал, за розшифровку – 2 бали )

3 . Самостійна робота  

І – Побудувати в одній системі координат графіки функцій у = √х і у = = 6 – х

ІІ – Розв’язати   графічно рівняння 6 – х = √х

ІІІ – за допомогою графіків вказати значення х, при яких значення функції у = 6 – х  більші  за значення функції у = √х

V. Підсумок уроку .  

Коли починаєш справу, спитай себе, що я маю зробити. Після закінчення, що я зробив? Якщо ви вважаєте, що рівень ваших знань залежить від часу, то якою функцією ця залежність описується, зростаючою чи спадною ?

VІ. Домашнє завдання.

Повторити §§ 3 – 4

Достатній рівень – вправи 62, 63

Високий рівень – вправи 56, 63

Творчий проект «Функції і прислів’я »

На екрані представлено графіки залежності рівня ваших знань від часу. Будь ласка, виберіть за допомогою смайликів той графік, який, на ваш погляд, найбільше близький вам. Чи можна за цими графіками зробити висновок про швидкість приросту ваших знань під час уроку ?